Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia (2)

Dando continuidade às Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia, neste segundo artigo será abordado acerca da Lei da Gravitação Universal de Newton e, posteriormente, resolução de um exercício proposto relativamente simples contido no livro-base Physics For Scientists And Engineers Extended Version. (Tipler e Mosca)

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Lei da Gravitação Universal  

 

É sabido que ao longo dos séculos o homem tentava descobrir o motivo da queda dos objetos. Desde Aristóteles, passando por Galileo Galilei, a gravitação dos corpos só foi conhecida, tal como a concebemos atualmente, com a publicação da obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (publicada em 05/07/1687). Nesta obra, composta por três volumes, Isaac Newton, com base nos estudos anteriores de Tycho Brahe, Galileo Galilei e  Johannes Kepler, elabora a Lei da Gravitação Universal, as 3 Leis de Newton (base da Mecânica Clássica) e a demonstração das Leis de Kepler para o movimento dos corpos. Antes da publicação desta obra, a comunidade científica da época não aceitava a ideia de que as leis da Física observadas na superfície terrestre podiam ser estendidas aos corpos celestes. Deduzindo as 3 Leis de Kepler, Newton postulou que existia uma força de atração para cada par de elementos, proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre estes.

– Equação da Gravitação Universal 

 

Sejam m1 e mas massas das partículas nas posições,

respectivamente, e seja

a posição relativa da partícula 2 à partícula 1, como mostra a figura abaixo:

 

onde o vetor-resultante é unitário de 1—>2. A força F vetorial,

 

força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1, é igual e oposta a…

 

… que obedece à 3º lei de Newton (Ação e Reação). A força gravitacional acima (1—>2) é dada pela seguinte equação:

 

A força gravitacional de uma partícula de massa m1 que atua pontualmente sobre uma partícula mé dada por: 

onde G é a constante da gravitação universal de Newton e as forças centrípetas das partículas 1 e 2 são dadas por:

 

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Exercício Prático (Capítulo 11 – GRAVITY)

31) Jupiter’s satellite Europa orbits Jupiter with a period of 3.55 d at an average orbital radius of 6.71 × 108 m.

(a) Assuming that the orbit is circular, determine the mass of Jupiter from the data given.

(b) Another satellite of Jupiter, Callisto, orbits at an average radius of 18.8 × 108 m with an orbital period of 16.7 d. Show that these data are consistent with an inverse square force law for gravity (Note: DO NOT use the value of G anywhere in Part (b)).

Resolução

Dados: rEUROPA = 6,71 x 108 m

G = 6,673 x 10-11 N.m2/kg2

TEUROPA = 3,55 dias = 306.720 s

rCALISTO = 18,8 x 108 m

TCALISTO = 16,7 dias = 1.442.880 s

MJUPITER = ? (em kg)

aEUROPA/aCALISTO = ? (relação entre as acelerações centrípetas)

O exercício proposto pede para determinarmos a massa de Júpiter a partir do raio médio orbital, constante da gravitação universal e período orbital de um de seus satélites, Europa, assim como mostrar que estes estão de acordo com a lei do inverso do quadrado da força da gravidade a partir dos dados do satélite Calisto – sem utilizarmos o valor de G no item (b).

(a) Assumindo órbita circular (“Assuming that the orbit is circular (…)”), aplicamos a 3º Lei de Kepler (Lei dos Períodos), tendo-se:

 

T^2= 〖Kr〗^3

T_EUROPA^2= 〖4π〗^2/GM_JUPITER r_EUROPA^3

M_JUPITER= 〖4π〗^2/(GT_EUROPA^2 ) r_EUROPA^3

M_JUPITER= (〖4π〗^2 (〖6,71×10〗^8)^3)/(〖(6,673×10〗^(-11))( 〖306.720)〗^2 )

M_JUPITER= 〖1,89X10〗^27kg

(b) Equação da aceleração centrípeta:

a_c= v^2 / R (i)

Mas v = 2πR/T. Substituindo na equação (i):

a_c= ((2πR│T)^2) / R

a_c= (〖4π〗^2 R) / T^2

Expressando a aceleração centrípeta de Europa e Calisto, temos:

a_(c (EUROPA))/a_(c (CALISTO)) = ((〖4π〗^2 R_EUROPA)/(T_EUROPA^2 ))/((〖4π〗^2 R_CALISTO)/(T_CALISTO^2 ))

a_(c (EUROPA))/a_(c (CALISTO)) = (T_c^2 R_EUROPA)/(T_EUROPA^2 R_CALISTO )

Substituindo as acelerações centrípetas recorrendo à Lei dos Períodos de Kepler:

a_(c (EUROPA))/a_(c (CALISTO)) = (KR_CALISTO^3 R_EUROPA)/(KR_EUROPA^3 R_CALISTO )

a_EUROPA/a_CALISTO = (R_CALISTO^2)/(R_EUROPA^2 )

Ou seja, a força gravitacional varia com o quadrado da distância entre os corpos.

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Sugestão: refazer o item (a) para determinar a massa da Terra. (Dados: rLUA = 3,82 x 108 m; G = 6,673 x 10-11 N.m2/kg2; TLUA = 27,44 dias) 

 


 

 

6 comentários

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  1. Peço desculpa, mas o vetor posição 2, no gráfico, não se encontra assinalado no sítio errado? Penso que r2 deveria partir da origem, sendo que r1,2 é que partiria de r1.

    1. Caro Filipe,

      Analise mais atentamente o artigo. 😉

      Meus cumprimentos,

        • Verdrossenheiter on 09/03/2017 at 01:03

        Filipe está certo, o vetor posição r2 está trocado com o vetor r1,2.
        O vetores r1 e r2 têm que partir da origem, o relativo (r1,2) liga o final dos vetores posição.
        O gráfico está errado pois mostra uma soma vetorial, o que não é o caso no artigo.

        Analisem o assunto “vetores”.
        Meus cumprimentos.

    • Fernando Ramos on 01/09/2012 at 17:53
    • Responder

    Isto é informação valiosa.

    Se me permite(m) gostaria de propor que no fim desta série de posts sobre este assunto fosse elaborado um documento PDF com todo o conteúdo publicado (sobre as “Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia”) e disponibilizado no blogue para todos os interessados.

    1. É uma excelente ideia 😉

      Mas tem que ser o autor, Cavalcanti, a aprovar 🙂

    2. Olá Fernando e Carlos,

      A ideia é excelente, já que se poderia “visualizar” melhor as equações. 😉 Porém, necessitarei me estruturar (estudar) acerca da conversão do formato para PDF – pois, sempre me utilizo tanto do word, outlook, quanto do excel.

      Grazie, sr. Fernando. 🙂

  1. […] Já foi discorrido acerca da dedução desta equação aqui. […]

  2. […]  Dando continuidade às Aplicações Práticas na Engenharia, Física e Astronomia aqui e aqui, neste terceiro artigo será abordado acerca da Radioatividade aplicada no campo da Física […]

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