Descobrindo a massa de Júpiter

O relatório foi escrito por um aluno da Albany High School, William Lee, em 1994. O objetivo era encontrar a massa de Júpiter recorrendo ao programa de processamento de imagem da Hands on Universe.

Objetivo Principal

O objetivo principal é encontrar a massa de Júpiter pela obtenção do raio e período orbital de uma das quatro luas vistas na imagem. Este método implica um certo conhecimento do método de paralaxe e da lei da gravitação universal.

Sabemos que a massa de Júpiter, MJ, pode ser determinada conhecendo a distância e período de uma das suas luas a este planeta.

O método consiste em incorporar todas as fotos numa única para permitir a observação da posição das várias luas e comparar a velocidade com que se deslocam na sua órbita. Com conceitos básicos de geometria podemos determinar cada um dos ângulos descritos por uma das luas, para depois conhecer o período. Determinamos a distância de uma lua a Júpiter e obtemos a massa de Júpiter.

Assim, Os passos a serem seguidos são:

  1. Combinação das imagens
  2. Identificação das quatro luas
  3. A órbita de Io e outras
  4. O período orbital de Io
  5. Conclusão

Combinando as imagens

As seis imagens recolhidas de Júpiter e das luas foram recolhidas usando um telescópio, num intervalo de tempo de 6 horas. Cada uma das imagens foi recolhida hora a hora (para mais informações ler o artigo original). As imagens foram combinadas numa única, onde se pode ver o movimento das quatro luas: Io, Europa, Ganymede e Calisto. Como não se sabe qual delas corresponde às indicadas na imagem, marcou-se com as letras A, B, C, e D. As setas mostra o sentido do movimento de cada uma.

Júpiter e suas Luas. Crédito: William Lee.

Júpiter e suas Luas. Crédito: William Lee.

 

Identificando as quatro luas

Qual lua é qual? Para identificar cada uma das luas é provavelmente a primeira tarefa é preciso resolver depois de obter o centro de Júpiter no mesmo local. Não é difícil ver que a Lua D está realmente a ficar “muito mais lenta”, indicando que a lua está a chegar à “borda” da sua órbita. Pode obter-se todas as coordenadas das luas A, B, C e D, dos diferentes locais, utilizando a ferramenta de eixo do programa. Também pode encontrar-se as suas distâncias ao planeta, usando a fórmula de distância, √((x1x2)2 + (y1y2)2).

Tabela com os valores da posição de cada uma das luas. Crédito: William Lee.

Tabela com os valores da posição de cada uma das luas. Crédito: William Lee.

O gráfico da distância, em pixels, da lua até Júpiter em função do tempo em horas é o seguinte:

Gráfico da distâncias, em pixeis, entre cada uma das luas e Júpiter em função do tempo, em horas. Crédito: William Lee.

Gráfico da distâncias, em pixeis, entre cada uma das luas e Júpiter em função do tempo, em horas. Crédito: William Lee.

 

Verifica-se que o gráfico da lua D é uma curva. Isto indica que a sua velocidade muda rapidamente. Parece ser a lua que está mais próxima de Júpiter, Io. A velocidade da lua D aproxima-se de zero (a inclinação da curva é 0), entre, aproximadamente, as 5 e as 6 horas. Posso aferir que, esta distância aproximada naquele ponto, é o raio da órbita de Io, isto é, 193,38 pixeis.

De acordo com o gráfico e a tabela, todas as outras luas estão quase a mover-se com uma velocidade constante. No momento em que o gráfico das luas A e B se encontram (quase 200 pixels de Júpiter), permite comparar as suas velocidades, porque elas estão à mesma distância. O cálculo da inclinação de A é (255,05-188,56) / (1-6) = -13,30, e de B é (109,26-207,95) / (1-6) = 19,74. A resposta mostra que B está em movimento mais rápido do que A a nesse ponto. Presume-se também que as linhas de A e de C irão encontrar-se a certa altura (não é mostrado no gráfico, mas podemos extrapolar). Isto permite encontrar o declive de C, que é (43-132,82) / (1-6) = 17,96, e é mais acentuada do que A. Sei que  B > A (“>” significa mais rápido do que), e C > A. Finalmente, comparando a velocidade de B e de C, comparando as posições 1 e 2 da lua B e as posições 5 e 6 da lua C. Como se pode ver na tabela, a distância a partir de Júpiter até C na posição 6 é muito próximo da distância a partir de Júpiter até B na posição 2 (132,82 pixeis e 131,09 pixeis). B move-se a partir de 109,26 pixeis para 131,09 pixeis, em uma hora, e C move-se 115,00pixeis para 132,82 pixeis, em uma hora. B move-se a 21,83 pixeis / hora e C move-se a 17,82 pixeis / hora, aproximadamente na mesma localização. Concluo, portanto, que B > C.

Assim, v(B) > v(A); v(B) > v(C); v(C) > v(A); D = Io (fastest)

Logo, v(D) > v(B) > v(C) > v(A)

Sabe-se que Io é a lua mais próxima, Europa é a segunda mais próxima, Ganymedes é a terceira e Calisto é a quarta.

Se tivermos em atenção a relação existente entre a velocidade, v, e o raio orbital, r, recorrendo à expressão, = √((G M) / r), quando r aumenta, v diminui e quando v aumenta, r diminui.

Assim, conclui-se que D é Io, B é Europa, C é Ganimedes e A é Calisto

A órbita de Io e outras

Foquemos os nossos dados em Io:

Io_data

Órbita de Io. Crédito: William Lee.

Órbita de Io. Crédito: William Lee.

Como vimos anteriormente o raio orbital de Io é de 193,38 pixeis. Chamemos agora J, ao ponto central onde está Júpiter.

Assim, podemos determinar a magnitude dos ângulos:

a1 (IJ I5) = cos-1 (148,18 / 193,38) = 39,98º

a2 (IJ I5) = cos-1 (165,13 / 193,38) = 31,36º

a3 (IJ I5) = cos-1 (177,97 / 193,38) = 23,03º

a4 (IJ I5) = cos-1 (188,01 / 193,38) = 13,53º

Para cada uma das posições, após cada hora de movimento, teremos uma amplitude angular:

b1 (IJ I2) = a1 (IJ I5) – a2 (IJ I5)  = 39,98º – 31,36º = 8,62º

b2 (IJ I3) = a2 (IJ I5) – a3 (IJ I5)  = 31,36º – 23,03º = 8,33º

b3 (IJ I4) = a3 (IJ I5) – a4 (IJ I5)  = 23,03º – 13,53º = 9,50º

b4 (IJ I5) = 13,53º

Como último valor, 13,53º, é muito diferente dos anteriores, podemos descartá-lo. Podemos fazer uma média entre o valor máximo, 9,50º, e o valor mínimo, 8,33º, obtendo-se 9,06º.

O período orbital de Io

A expressão matemática para determinar a massa de Júpiter é:

CodeCogsEqn

O período, que pode ser determinado conhecendo o tempo que demora, em segundos, a descrever aquele ângulo, do pedacinho do arco de círculo da sua trajetória, será dado pela expressão = 360 / b. Usando o valor médio de 9,06º e o tempo de uma hora (1 h = 3600 s), temos que o período de Io é: T (Io)= 360 x 3600 / 9.06 = 1,43 x 105 s ou 16,6 dias.

Conclusão

Dado que a distânca da Terra a Júpiter é D = 6,63 x 1011 m, nessa altura, podemos determinar a distância de Io a Júpiter, r, deste modo:

Distâncias Terra-Júpiter e Io-Júpiter. Crédito: José Gonçalves

Distâncias Terra – Júpiter (D) e Io – Júpiter (r). Io está na posição mais afastada relativamente a Júpiter. Crédito: José Gonçalves

A amplitude do ângulo em radianos é dada pela expressão:

g = r/D

e pode ser conhecida com os seguintes valores conhecidos:

g = 193,37 pixel x (0,63 arcsec / 1 pixel) x (1º / 360º) x (1 rad / 57,3º) = 5,9 x 10-4

Logo, determinamos r:

r = 5,9 x 10-4 x  6,63 x 1011 = 3,91 x 108 m

Usando a expressão para determinar a massa de Júpiter, obtemos:

MJ = 4 p2 (3,91 x 108) / (G (1,43 x 105)2) = 1,73 x 1027 kg

O valor conhecido da massa de Júpiter é de 1,9 x 1027 kg

O que corresponde a um erro de:

e = (1,9 x 1027 – 1,73 x 1027) / (1,9 x 1027) ~ 9%

2 comentários

  1. Obrigado Filipe pelo feedback.
    Por vezes, não há muito tempo para pensar nos assuntos e fica por escrever alguns pormenores essenciais.
    Fiz alguns retoques como sugeristes. 🙂
    O que torna este astropt brilhante é o facto de podermos interagir e complementar o texto.
    Abraço

  2. O trabalho é giro, sim senhor! A descrição é que faz parecer que é mais complicado ainda do que foi, e talvez desencoraje muitos leitores a continuarem a decifrar as tabelas, gráficos e contas!…
    Aquela lista de passos 1, 2, 3, 4, 5 devia aparecer só depois de se decompor o problema nesses passos..
    Ou seja, em vez de relatar o que foi feito pela ordem como foi feito, explicava-se pedagogicamente a estratégia que ia ser usada, e para que serve a decomposição do problema dessa forma (combinar todas as imagens numa só permite observar todas as posições das várias luas; a velocidade a que as luas percorrem a órbita ajuda a identificar que lua é qual, mas essa velocidade tem que ser a velocidade angular, e é por isso que se medem os ângulos; etc)..
    “identificando as luas” ficaria melhor do que “nomeando” as luas..
    Depois há aquele um pormenor essencial “escondido” que muitos leitores não se iriam lembrar quando tentassem reproduzir a experiência com imagens de sua autoria, é que para determinar a distância de Io a Júpiter da forma como foi, tem que se assumir que a velocidade dele chegou a zero (ou seja que está na elongação máxima de Júpiter!), caso contrário ter-se-ia que fazer algum “fit” à órbita circular ou assim (complicava mais a coisa). Portanto, as imagens não foram captadas à toa! Quer isto dizer, que se pode também sugerir a quem quiser tentar reproduzir isto, que deve procurar ter imagens deste ponto da órbita de uma Lua. E se essa lua for a de menor período, melhor 🙂

    Onde se nota que o trabalho foi feito por alunos de física e não por astrónomos amadores é no facto de terem tido acesso a 6 imagens das luas de Júpiter em intervalos de 6 em 6 horas (36h de observação) 🙂 Isso só se consegue a partir de uma rede de telescópios ao redor do mundo, já que o horário de expediente do amador não costuma durar mais que uma noite… O astrónomo amador genuíno tinha que ter usado algo equivalente ao Stellarium para a captura das imagens! 😀 Eu sei que isto elimina uma série de problemas no processamento de imagens, mas deverá funcionar, e pode ser bem pedagógico e acessível!

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