Método de Pi de Buckingham

Este é um método usado em laboratórios, em problemas de hidrodinâmica principalmente.

Faço desde já notar que este artigo é algo técnico e talvez não seja de fácil compreensão para o leitor leigo. De qualquer forma, poderão usar os comentários para requisitar esclarecimentos.

Tendo um problema físico qualquer, em que se desconhece a relação entre as variáveis físicas envolvidas, é possível achar uma relação entre elas usando o Método de Pi de Buckingham.

Para explicar como se aplica, vou usar um exemplo simples. Consideremos um pêndulo simples, sobre o qual se pretende obter a relação entre o período e as restantes variáveis físicas presentes.

pi buck

Começa-se por identificar as grandezas físicas presentes:

  • Comprimento do fio – l (dimensão – )
  • Aceleração gravítica – g (dimensão – )
  • Força aplicada sobre a esfera – f (dimensão – ) [sistema de unidades CGS que neste caso simplifica, senão teria que ser escrito como no sistema internacional de unidades (S.I.)]
  • Período – P (dimensão – )

Em seguida identificam-se as grandezas independentes (neste caso são F, L e T).

Tem-se então que o “número de π’s” é igual à subtracção entre o número de variáveis total com dimensão e o número de grandezas independentes. Neste caso fica: nº de π’s  = 4-3=1. Isto significa que o nosso π do problema é uma constante. Se o resultado tivesse dado um número superior a 1, então significaria que o nosso π seria função desse (número-1) variáveis. O nºde π’s é sempre maior ou igual que um.

Seguidamente iguala-se o nosso π ao produto de todas as variáveis envolvidas que tenham dimensão, cada qual com um expoente indeterminado. Após isto, passa-se cada variável para a sua dimensão correspondente – como é óbvio o π sendo uma constante não terá dimensão.

Tendo em conta o princípio da homogeneidade dimensional, que nos diz que as dimensões de uma equação têm que ser iguais entre os termos que a compõe, ou seja, não se somam grandezas com dimensões diferentes (não faz sentido somar uma velocidade com uma distância, por exemplo), tem-se uma condição suficiente para a determinação do expoente. Como é evidente, ter-se-á que fazer a convenção para um dos expoentes, neste caso, visto que o que se pretende é calcular o Período, o expoente desta fica 1.

O valor de π terá que ser calculado experimentalmente.

Quando π não é uma constante, ou seja, é função de certas variáveis, a sua determinação experimental torna-se mais complexa, ainda que possível.

4 comentários

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    • Júnio Teixeira Cândido on 20/09/2013 at 20:49
    • Responder

    Olá Marinho Lopes.

    Gostei muito do seu artigo, e achei-o interessante; sou apenas um estudante do ensino médio, então ainda não compreendo totalmente alguns conceitos físicos e matemáticos, mas sempre procuro aprender mais sobre ambos pois acredito que seja uma forma de entender a natureza.

    Poderia me sugerir alguns artigos e/ou livros a ler para entender melhor sobre o Método de Pi de Buckingham?
    Grato. 🙂

    1. Olá Júnio,

      Ainda bem que gostou.

      Pode consultar as referências indicadas na wikipedia em inglês:
      http://en.wikipedia.org/wiki/Buckingham_π_theorem
      (Ver secção “exposition”)
      Eis um exemplo: http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf
      O segundo livro referido (cujo autor é o George Hart) deverá ser mais ou menos bom para si, ainda que possa ser um pouco difícil. Como deverá imaginar, este não é um método que se ensine a alunos do ensino médio normalmente, daí que não haja propriamente um livro que lhe possa recomendar. De qualquer forma, o método em si parece-me principalmente importante para si no que respeita à análise dimensional, e esta é muito fácil, e acessível, como penso que se pode depreender deste artigo.

      Peço desculpa pela demora na resposta.

      Cumprimentos,
      Marinho

  1. O “Pi” que menciona, nada tem a ver com o rácio do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro?

    1. Olá Paulo,

      Não, este Pi nada tem a ver com esse pi.

      Cumprimentos.

  1. […] conceito de dimensionalidade é completamente diferente, e até já falei um pouco dele no Método de Pi Buckingham. Possivelmente na primária, o vosso professor disse-vos: “não se soma alhos com […]

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