Equações-Desafio 17 – Frequência Fundamental da Corda Vibrante

“A Matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza – uma beleza fria e austera, como a de uma escultura.“

Bertrand Arthur William Russell –
matemático e ensaísta inglês

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Sabem o que é isto?

Vão dando palpites nos comentários…

Eu darei a resposta próxima segunda-feira (05/02/24)

(os comentários vão sendo temporariamente embargados para não influenciarem outros leitores)

Como se chama isto? O que é esta equação?

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Trata-se da frequência fundamental de uma corda vibrante.

No tratado Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica ed i movimenti locali, publicado no ano de 1638, Galileu refere-se à questão das cordas vibrantes e das consonâncias nas seguintes palavras: “a razão primeira e imediata de que dependem as razões dos intervalos musicais não é nem o comprimento das cordas, nem a sua espessura, mas a proporção existente entre as frequências das vibrações e, portanto, das ondas que, propagando-se no ar, atingem o tímpano do ouvido, fazendo-o vibrar em intervalos de tempo iguais”.

Entretanto, atribui-se a Marin Mersenne, matemático francês [1588-1648], o primeiro a estabelecer as leis básicas da moderna acústica das cordas. Na obra “Harmonie universelle”, datado de 1636, encontram-se as suas leis experimentais sobre a proporcionalidade do período de vibração duma corda.

A teoria matemática do som só se viria a se desenvolver após o modelo da mecânica de Sir. Isaac Newton, em “Principia Mathematica”, tendo sido Brook Taylor, um matemático inglês [1685-1731], o primeiro a calcular o período fundamental de uma corda vibrante, em 1713, um  ano após se tornar membro da Royal Society.

Contudo, foi com Bernoulli, em 1727, numa troca de cartas com seu filho, que ficou conhecida a deformação infinitesimal de uma corda vibrante aplicada com peso.

Partindo-se da equação diferencial de um pêndulo simples de comprimento L, para um elemento de corda de massa ρ dx:

d²ν / dx² = (-g/L) x (ρ/τ) x ν

onde τ é a tensão aplicada na corda.

Entre x = 0  e  x = l* (leia-se: “L” minúsculo), a solução é:

ν = A sin ωx

Sendo A constante e ω = sqrt {(g/L) x (ρ/τ)}

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*Fazendo ν = 0  quando x = l (“L” minúsculo), a corda vibrante é a função seno e L = (g x ρ / τ) x (l² / π²)

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A partir da equação fundamental da dinâmica F (vetor) = m x a(vetor), a vibração (infinitesimal) do pêndulo pode ser expressa por:

d²ν / dt² = – (g/L) x ν

cujo período Τ pode ser expresso por: 2π x sqrt (L/g). 

Substituindo L, obtemos a equação-desafio:

ν = 1/Τ = sqrt (τ/ρ) / 2 x l